Download e-book for iPad: Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung by Artur Bergmann, Erich Baumgartner

By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

ISBN-10: 3486721372

ISBN-13: 9783486721379

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven scenario. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

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2 auch (X, Y, X, Y ) ein Parallelogramm. 1 (5 b) ist dies nur f¨ ur Y = Y m¨oglich. Xs ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ P g1 ✁ ✁ ✁g2 ✁ ✁ ✁s ✁ ✁ ✁s Q Figur 15 a 4 V❞ ✁❇ ✁❇ ✁ ❇ ✁ ❇ ✁ ❇ sY ✁ ✁ P ✁ ✁ ✁s W❞ ✁❇ ✁❇ ✁ ❇ ✁ ✁ ✁ ❇ ❇s ❇ X Q Figur 15 b ✁ ✁s ❇ ❇ ❇ ❇s ❇ Y Wie der folgende Beweis zeigt, wird die Voraussetzung (d) nur verwendet zum Nachweis der Eindeutigkeit des Punktes Y im Fall, dass P, Q, X kollinear sind mit P = Q. Außerdem wird sich ergeben, dass der Beweis dieses Satzes, falls X nicht auf g(P, Q) liegt, einfach ist.

Da dies f¨ ur alle Punkte X gilt, ist damit τBC ◦ τAB = τAC gezeigt6 . 6 Der Leser f¨ uhre einen geometrischen Beweis f¨ ur diese Aussage (also einen Beweis mit Hilfe der Definition von Parallelogrammen) beginnend mit dem Fall, dass (A, B, X, Y ) und (B, C, Y, Z) eigentliche Parallelogramme und A, B, C nicht kollinear sind (vgl. Figur 16 auf der n¨ achsten Seite). 40 2 Parallelverschiebungen in (d)-Ebenen Insbesondere ist also die Hintereinanderausf¨ uhrung von Parallelverschiebungen wieder eine Parallelverschiebung.

Figur 5 a ) oder (D*ii) genau eines der drei Paare entsprechender Dreiecksseiten ist parallel; in diesem Fall ist die Verbindungsgerade der Schnittpunkte der beiden anderen Paare entsprechender Dreiecksseiten parallel zu den beiden parallelen Dreiecksseiten (vgl. Figur 5 b ) oder (D*iii) zwei Paare entsprechender Dreiecksseiten sind zueinander parallel; in diesem Fall ist auch das dritte Paar von Dreiecksseiten zueinander parallel (vgl. Figur 3 ). Mit anderen Worten : Es seien g1 , g2 , g3 voneinander verschiedene und zueinander parallele Geraden und P1 , P2 , P3 sowie Q1 , Q2 , Q3 Punkte mit P1 , Q1 g1 und P2 , Q2 g2 und P3 , Q3 g3 .

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by Kenneth
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